А. Аверкин.
В работе показано,
что квинтэссенция, т. е. та субстанция, что ответственна за ускоренное
разбегание удаленных галактик, может быть получена как неожиданное решение
уравнений Максвелла. Для соответствующей интерпретации этих уравнений следует
считать, что они являются условием аналитичности функций определенного гиперкомплексного
аргумента. Для геометрического осмысления таких функций и, следовательно,
электромагнетизма как такового удобно считать, что пространство‑время является
неархимедовым многообразием.
It is shown that quintessence — the antigravitating
substance caused the accelerating scattering of remote galaxies — may be obtained
as the unexpected decision of Maxwell equations. For proper interpretation of
these equations one must consider them as analycity condition of functions of a
certain hypercomplex variable. For geometric understanding of such functions
and therefore of electromagnetism itself it is easy to think that the space‑time
is a nonarchimedial set of points.
Рассмотрим
преобразование пространства-времени вида
такое, что каждая его
точка смещается на малую величину wi(xk). Соответственно этому преобразованию окрестность
каждой точки пространства‑времени деформируется следующим образом:
где wij = ∂wi/∂xj. Тензор wij, ассоциированный тензору wij, можно представить в виде совокупности
симметричного и антисимметричного тензоров:
В свою очередь,
тензор uij, который естественно назвать тензором деформации пространства‑времени, запишем как
где скаляр w0 = –wkk есть коэффициент
объемного сжатия пространства‑времени, а тензор tij, след которого равен нулю, можно назвать
тензором сдвига пространства‑времени.
Что касается тензора vij, то он осуществляет малый поворот
окрестности точки xi,
т. е. ее лоренцево преобразование. Это видно хотя бы из того, что
приращение вектора dxi,
которое в этом случае записывается как δdxi = vij δdxj, в силу антисимметричности тензора vij, ортогонально самому вектору dxi, т. е. dxi δdxi = 0. В связи с этим тензор vij можно назвать тензором лоренцева преобразования пространства‑времени.
Казалось бы, мы можем теперь поставить в
соответствие малому вектору деформации
пространства‑времени wi четырехмерный векторный потенциал Ai, а тензору лоренцева преобразования vij — тензор электромагнитного поля Fij. Однако, ситуация не так проста. Когда
мы говорим, что вектор деформации мал, то подразумеваем, что существует некая
фундаментальная длина λ,
и для всех компонент вектора деформации выполняется соотношение wi << λ. Если же это условие не выполняется, то
теория электромагнетизма перестает быть линейной, потенциал электромагнитного
поля теряет свой векторный характер и, вообще, система отсчета делается
неинерциальной. Таким образом, указанная фундаментальная длина должна быть
очень малой, чтобы не быть обнаружимой экспериментально. Кроме того, согласно
принципам общей теории относительности, деформации пространства‑времени
соответствует переход к новой системе отсчета, и, следовательно, возникающие
при этом силы инерции должны были бы сопровождаться появлением
электромагнитного поля, что нарушает принцип эквивалентности инерции и
тяготения. Такого рода возражения легко, однако, обойти, если считать, что
компоненты вектора деформации выражаются бесконечно
малыми числами, отличными, тем не менее, от нуля.
Относительно недавно существование таких чисел стало общеизвестным
в связи с созданием новой трактовки математического анализа, во многих
отношениях более естественной, чем традиционная. При помощи бесконечно малых чисел
множество действительных чисел может быть расширено расширяется до множества
так называемых гипердействительных
чисел. Если обозначать гипердействительные числа, в отличие от соответствующих
действительных, прямым шрифтом, то произвольное гипердействительное число можно
записать в виде:
где da —
бесконечно малое число. Бесконечно малые гипердействительные числа не
удовлетворяют аксиоме Архимеда, верной для всех действительных чисел, отличных
от нуля. Эта аксиома утверждает, что для любых двух отрезков c и d можно меньший
из них (c) отложить столько раз, чтобы в сумме
получить отрезок, по длине превосходящий больший (d).
В связи с этим, множества, содержащие гипердействительные числа, называют неархимедовыми. Математический анализ,
построенный на новом представлении об устройстве числовой оси, — он называется нестандартным анализом [1, 2]
— является формализацией соответствующих воззрений Лейбница и интуитивно
представляется более естественным, чем традиционный; во всяком случае, в этом
анализе понятие дифференциала, в отличие от анализа Ньютона-Коши, имеет вполне
ясный математический смысл.
Поскольку теперь можно понимать
электромагнитное поле как результат определенной деформации пространства‑времени,
понимаемого как четырехмерное множество гипердействительных точек, то имеет
смысл восстановить в правах термин «эфир»,
используя его как синоним термина «пространство‑время». Неархимедов эфир
состоит из двух компонент: стандартного (или грубого) эфира xi и инфинитезимального (или тонкого) эфира dxi. Таким образом, деформация тонкого эфира
приводит к возникновению электромагнитного поля. Поскольку стандартные и
бесконечно малые числа несоизмеримы, удобно для измерения инфинитезимальных
величин ввести бесконечно малую единицу длины и назвать ее, например, вольтом:
где d — некоторое
бесконечно малое число.
Деформацию эфира теперь можно описывать конечными
числами, для чего следует положить
где Ai — потенциал и Fij — тензор электромагнитного поля. Если тонкий эфир претерпевает
деформацию, то окрестность стандартной точки xi поворачивается на угол φ = δH и приобретает скорость v = c δE.
* * *
таким образом,
представляется, что естественным и, по‑видимому, единственно правильным
считать пространство‑время неархимедовым объектом. Его тонкая деформация
приводит к возникновению электромагнитного поля, а грубая деформация соответствует
переходу к новой системе отсчета, при этом вектор бесконечно малой деформации wi и соответствующий ему потенциал Ai автоматически преобразуются как
контравариантные векторы.
Если считать, что
электромагнитное поле классической электродинамики
всегда подчиняется
калибровке Лоренца, то векторный потенциал всегда удовлетворяет релятивистки
инвариантному уравнению д'Аламбера
В геометрическом
смысле калибровка Лоренца является условием несжимаемости эфира. Это требование,
с математической точки зрения, представляется произвольным, и от него хотелось
бы освободиться. Это можно сделать следующим образом. Введем скалярное поле
которое будем
называть нуль‑полем. Это поле, изменяющее калибровку потенциала,
описывает однородную составляющую деформации эфира, т. е. бесконечно малое
изменение его плотности. Отметим, что ни нуль‑поле, ни обычное
электромагнитное поле не изменяются при сдвиговой деформации эфира
где удовлетворяющую
волновому уравнению функцию f можно
назвать потенциалом деформации сдвига. Несмотря на то, что калибровка теперь
уже не является лоренцевой, мы будем считать, что потенциал, тем не менее, по‑прежнему
удовлетворяет уравнению д'Аламбера (1). Если уравнение для потенциала при
изменении калибровки сохраняет свой вид, то должны соответствующим образом
преобразовываться сами уравнения Максвелла. Уравнения Максвелла при наличии
нуль‑поля можно получить, варьируя лагранжиан
(см., например, [3]),
где ε0 — бесконечно большая константа,
называемая электрической постоянной:
Уравнения Максвелла
для вакуума теперь будут иметь вид
где точкой обозначено
дифференцирование по x0,
а четырехмерный ток является 4‑градиентом
Полученные уравнения
внешне совпадают с уравнениями Максвелла при наличии зарядов и токов, но имеют
принципиально отличный смысл. В уравнениях (3, 4), в отличие от обычных
уравнений Максвелла, заряды и токи не задаются, исходя из внешних по отношению
к этим уравнениям соображений, но сами являются решением этих уравнений.
Это обстоятельство приводит, в частности, к тому, что эти уравнения обладают решениями
в виде продольных волн, распространяющихся со скоростью света и
связанных с переносом заряда. Такого рода решения имеют вид
где n — единичный вектор вдоль направления
распространения поперечной волны, а f — произвольная функция скалярного
аргумента.
Существование таких связанных с переносом
заряда волн противоречит, конечно, всему опыту, накопленному физикой. Объяснить
это можно тем, что заряженные частицы всегда обладают конечной массой покоя,
тогда как уравнения Максвелла, по самой своей структуре, описывают только
волны, распространяющиеся со скоростью света. Для того чтобы исключить из
рассмотрения продольные электрические волны, будем рассматривать только такие
решения уравнений Максвелла (3, 4), которые удовлетворяют калибровке E0 = const. Поскольку E0 не зависит ни от координат, ни от
времени, то тонкий эфир при такой калибровке следует считать несжимаемым. Мы
можем теперь отождествить 0‑поле, которое является, по сути, тривиальным
решением уравнений Максвелла, с той субстанцией, что сейчас красиво называют квинтэссенцией.
Как мы увидим ниже, определенному так 0‑полю соответствует отрицательная
эффективная плотность энергии и, следовательно, оно вполне может являться источником
антигравитации, как это присуще квинтэссенции. Из содержания ниже следующего
раздела можно увидеть, что введение скалярного 0‑поля E0 (а также псевдоскалярного 0‑поля H0) является с математической точки зрения
в высшей степени естественным.
Биэфирные числа
В
работах [4, 5 и др.] показано, что классическая электродинамика
может рассматриваться как некая математическая теория аналитических функций
бикватернионной переменной (бикватернионами называют кватернионы,
определенные над полем комплексных чисел). Определенным недостатком алгебры
кватернионов для указанных приложений является то, что комплексная мнимая
единица по своим коммутационным свойствам отличается от таковых кватернионных
единиц. Это приводит, в частности, к тому, что квадрат модуля бикватерниона,
соответствующего, например, электромагнитному полю, оказывается комплексным
числом.
Представляется, поэтому, более естественным
(возможно это просто дело вкуса) рассмотреть в связи с электродинамическими
приложениями алгебру, несколько отличающуюся от алгебры бикватернионов. Эту
алгебру, родственную алгебре октав, будем называть алгеброй биэфирных чисел.
Чтобы определить эту алгебру, введем в рассмотрение некие объекты — назовем их
эфирными «числами», — которые обладают структурой
Символом ā будем обозначать объект, сопряженный
эфирному «числу» a.
Умножение эфирных «чисел» будем определять при помощи следующей таблицы
умножения:
Все единицы i, j, k, l антикоммутируют между собой. Используя
эти правила умножения эфирных единиц, произведение эфирных чисел можно записать
в виде
где
— скалярное
произведение эфирных чисел, а
их антисимметричное произведение.
Из этой формулы видно, что произведение эфирных «чисел» не является эфирным
объектом. По сути, оно уже является числом биэфирным. Определим теперь алгебру
биэфирных чисел как множество объектов вида
где a и b объекты эфирные. Мы будем говорить, что
биэфирное число состоит из эфирной и коэфирной частей. Правило умножения
биэфирных чисел e = a + bl
и f = c + dl определяется формулой
Очевидно, что алгебра
биэфирных чисел, как и алгебра октав, является неассоциативной поэтому,
чтобы писать меньше скобок, условимся порядок сомножителей (…(d(c(ba)))…) называть нормальным и записывать
без скобок.
Из формулы (5) легко получить правила
обращения с биэфирной единицей l. Если a и b — эфирные объекты, то
Будучи
неассоциативной, алгебра биэфирных чисел сохраняет, тем не менее, подобно алгебре
октав свойство альтернативности умножения, которое, в самом общем виде,
означает, что произведение любого количества биэфирных сомножителей, составленное
только из двух разных чисел (и чисел им сопряженных), не зависит от
последовательности проведения умножений и, следовательно, может быть записано
без скобок. При этом число, сопряженное биэфирному числу c = a + bl, определяется как
Легко убедиться, что
при таком определении
Из свойства
альтернативности умножения биэфирных чисел следует так называемое «тождество
восьми квадратов»:
В дальнейшем мы будем
обозначать
и называть это
действительное число нормой биэфирного числа.
Введем
дифференциальный оператор, про который условимся, что он действует на соответствующие
функции биэфирного аргумента слева:
где
и дифференцирование
по y
— соответственно. Определение аналитической (точнее — леворегулярной)
функции F(z) биэфирного аргумента является
обобщением определения аналитических функций комплексной и кватернионной переменной,
годным для любого гиперкомплексного аргумента:
Мы, однако, не будем рассматривать здесь
аналитические функции биэфирной переменной общего вида, но ограничимся теми,
которые зависят только от эфирного аргумента x = x0 + x. Этот аргумент соответствует точкам
четырехмерной гиперплоскости, лежащей в восьмимерном пространстве биэфирных
чисел. Будем называть такие функции — аналитическими функциями эфирной
переменной. Эти функции удовлетворяют условиям аналитичности
где мы обозначили
Если аналитическую
функцию F(x) записать в виде
то восьмимерному
уравнению (7) будет соответствовать следующая система уравнений:
где точкой обозначено
дифференцирование по x0.
Эти уравнения внешне совпадают с уравнениями Максвелла при наличии
электрических и магнитных зарядов‑токов, образующих единство, которое
можно назвать биэфирным током. Если обозначить этот ток как K, то
или более подробно:
Уравнения (8, 9) кроме обычных электромагнитных волн
имеют и решения в виде продольных электрических и магнитных волн:
где f и g — некоторые действительные функции скалярного
аргумента
а q — эфирное число, удовлетворяющее
равенству
Отметим, что все
решения в виде волн, как поперечных, так и продольных, являются идеальными
функциями эфирного аргумента, т. е. их мера равна нулю.
Аналитические функции эфирной переменной
можно было бы выразить через 4‑потенциал C следующим образом:
или, расписывая по
составляющим,
Мы теперь можем уточнить
определения, данные в предыдущем разделе. Стандартная составляющая пространства‑времени
в алгебраическом смысле является эфиром, а его тонкая компонента — биэфиром.
Однородное сжатие биэфира описывается скалярной и псевдоскалярной функциями E0 и H0, а его вращение — векторной и
псевдовекторной функциями E
и H. Мы можем сказать,
что аналитические функции эфирной переменной описывают конформную составляющую
«гармонической» (т. е. удовлетворяющей уравнению д'Аламбера) деформации биэфира.
Очевидно, что в случае применения лишь эфирного потенциала коэфирная составляющая
биэфирного тока равна нулю. Используя понятие инфинитезимальной деформации, нам
удалось придать аналитическим функциям гиперкомплексного аргумента четкий геометрический
смысл. Отметим, что такого рода геометрическая интерпретация годится и для
обычных аналитических функций комплексной переменной.
Исходя из соотношений (11), мы можем
определить тензор, описывающий вращение биэфира, т. е. тензор электромагнитного
поля. Для перехода от электродинамики, сформулированной на языке аналитических
функций, к электродинамике в тензорных обозначениях следует заменить
Введем тензоры Pij и Qij, определяемые формулами
При помощи этих
тензоров тензор электромагнитного поля Fij, соответствующий матрице
можно записать в виде
где тензор, дуальный
тензору Qij
определяется соотношением
Отметим, что
Уравнения
Максвелла (8, 9) могут быть получены варьированием по компонентам
биэфирного потенциала действия с функцией Лагранжа
Если функцию Лагранжа
записать в тензорном виде, то мы придем к уравнениям Максвелла в виде
где Ii = E0;i и Ji = H0;i — компоненты 4‑токов. Отметим, что
в стандартной электродинамике, в которой используется лишь 4‑потенциал, варьирование
действия определяет первую пару уравнений Максвелла (14).
Тензор энергии‑импульса
электромагнитного поля при наличии нуль‑полей E0 и H0 легко получить, варьируя действие с
функцией Лагранжа (13), записанное в произвольных криволинейных координатах,
по компонентам метрического тензора gij [9]. В результате этой операции мы
получим, что тензор энергии‑импульса состоит из двух частей:
где T(1) — та часть тензора энергии‑импульса, которая не зависит
от наличия или отсутствия нуль‑полей. Если коэфирный ток J равен нулю (это соответствует тому
факту, что магнитные монополи до сих пор не обнаружены), то соответствующий
тензор имеет свой обычный вид [9]
Оставшуюся часть тензора
энергии‑импульса представим в виде суммы
где первое слагаемое
описывает энергию‑импульс электрического нуль‑поля, а второе —
магнитного. Тензор T(A) можно получить из дополнительного действия с лагранжианом
В произвольных
криволинейных координатах 4‑дивергенция вектора Ai определяется выражением
где g есть определитель, составленный из
компонент тензора gij.
Выполняя стандартную процедуру, получим, что
Точно так же получим
тензор энергии‑импульса для магнитного нуль‑поля:
Убедиться в
правильности выражения (16) для тензора энергии‑импульса
электромагнитного поля можно, приравняв нулю его 4‑дивергенцию. В результате
будем иметь уравнение
Из этого уравнения
следуют уравнения Максвелла (14, 15) (при J = 0) и, кроме того, уравнения непрерывности
для эфирного тока.
* * *
Рассмотрим теперь
решение уравнений Максвелла (7) вида
Однородному сжатию
биэфира соответствует потенциал
где потенциал
деформации сдвига f есть бинарная функция, удовлетворяющая
уравнению д'Аламбера. В этом случае тензор энергии‑импульса будет иметь
вид
Согласно недавнему
великому космологическому открытию [6, 7]
скорость разбегания удаленных галактик оказывается тем больше, чем дальше от
нас они находятся. Объяснить этот факт в рамках общей теории относительности
можно только тем, что Вселенная заполнена некоторой субстанцией с отрицательной
эффективной плотностью энергии ρэфф = ρ + 3р, где r — плотность этой субстанции, а р — существующее в ней давление. Если
измерять эту плотность в единицах критической плотности
где Н = 65 ± 15 км/с/Мпс — постоянная Хаббла, l = 4.81 1042 Н — рационализированная
гравитационная постоянная, выбранная так, чтобы закон Ньютона имел вид
то определяемая из
астрономических наблюдений величина
В работе [8] эту
гипотетическую субстанцию предложено назвать квинтэссенцией. Очевидно,
что сформулированная в этой работе категория нуль‑поля идеально соответствует
понятию квинтэссенции. Для этого достаточно сравнить тензор (17) с
тензором энергии‑импульса материальных тел (в данном случае — квинтэссенции),
который в сопутствующей системе координат имеет отличные от нуля компоненты [9]
Для того чтобы
космологическое нуль‑поле Eq + lHq обладало антигравитационными свойствами,
мы должны считать, что
т. е. что коэфир
сжат (или растянут) сильнее, чем эфир. Измеренному значению эффективной
плотности квинтэссенции соответствует космологическое нуль‑поле напряженностью
Как уже упоминалось
выше, уравнения Максвелла (7) обладают решениями в виде продольных
электрических волн (10). Эти волны связаны с переносом электрических зарядов.
Например, электрическую продольную волну с крутыми передним и задним франтами
вполне можно уподобить плоскому конденсатору, движущемуся со скоростью света в
направлении параллельном заключенному внутри него электрическому полю.
Поскольку такого рода волны не существуют, по‑видимому, в природе, мы
могли бы не обращать внимания на наличие таких решений, объявив их «нефизическими».
Мы можем, однако, сделать далеко идущие выводы, если предположим, что такие
волны действительно существуют, но, эволюционируя, они трансформируются, в
конце концов, в те сингулярные образования, которые присутствуют в традиционной
электродинамике в виде зарядов‑токов. Там эти заряды служат в качестве
неких посторонних граничных условий, определяющих конфигурацию решений
уравнений Максвелла.
Для тог чтобы убедиться, что зарядовые
волны не могут двигаться со скоростью света, возьмем след от тензора энергии‑импульса (16):
Тот факт, что след
тензора энергии‑импульса при наличии продольных волн отличен от нуля,
заставляет считать эти волны тяжелыми. Этим зарядовые волны отличаются от
обычных электромагнитных и гравитационных волн, для которых след тензора энергии‑импульса
всегда равен нулю (для гравитационных волн это следует из вида соответствующего
тензора Римана, приведенного в [9]). Из сказанного следует, сама по себе
предложенная теория электромагнетизма не является замкнутой, и мы должны
определять компоненты электромагнитного потенциала одновременно с составляющими
метрического тензора непосредственно из уравнений Эйнштейна
Представляется, что
нахождение решений уравнения Максвелла—Эйнштейна (18), описывающих
эволюцию продольных волн, является очень не простым делом даже в случае
одномерного движения. Можно, однако, с достаточной уверенностью высказать предположение
об общем характере такого рода решений. Вполне естественно предположить, что
нелинейный характер уравнений Эйнштейна приводит в данном случае к решениям того
типа, что обычно связывают с возникновением ударных волн. Иначе говоря, можно думать,
что по мере своего распространения фронт продольной волны делается все более
крутым и принимает, в конце концов, характерную S‑образную форму. Возникающую при
такого рода эволюции волнового фронта неоднозначность решений устраняют введением
сингулярного фронта, по разные стороны которого среда характеризуется разными
значениями своих параметров. Таким образом, мы можем предположить, что уравнения (18)
имеют «решения» в виде заряженных мембран. Важно понимать, что уравнение
Максвелла—Эйнштейна в этом случае описывает электрические векторные и скалярные
поля по разные стороны от мембран, внутренние же свойства самих мембран никак
не следуют из этого уравнения. Тот факт, что предполагаемые особенности
электромагнитного поля не являются решениями уравнения Максвелла—Эйнштейна как
раз и соответствует тому положению, что заряды и токи в традиционной
электродинамике выступают как задаваемые извне граничные условия.
Выходя за рамки, очерчиваемые решениями в
виде зарядовых волн, можно предположить, что биэфирная составляющая пространства‑времени
обладает особенностями, которые мы назовем мембранами (не обязательно
заряженными). Тот факт, что мембраны могут нести на себе заряды (не только
электрические, но, например, и барионные) является всего лишь важным свойством
мембран как таковых. Смысл существования мембран заключается в том, что они разграничивают
области пространства, в которых нуль‑поля обладают разными значениями.
Таким образом, предполагается, что в природе существуют домены, нарушающие однородность
квинтэссенции. Внутри таких замкнутых доменов нуль‑поле отлично от своего
космологического значения. Автор предлагает закрепить за такого рода объектами
термин «монады».
Мы не можем считать, что мембраны имеют
нулевую толщину — в этом случае он не могли бы обладать какими‑либо
физическими свойствами. С другой стороны, представляется очень маловероятным,
что мембранам удастся когда‑либо приписать и конечную толщину — это потребовало
бы введения взаимодействий, не входящих в Стандартную модель и не проявляющих
себя нигде, кроме как внутри мембран. Таким образом, представляется
естественным, что мембраны, в соответствии с неархимедовой природой пространства‑времени,
обладают бесконечно малой, но отличной от нуля толщиной, т. е. толщиной,
измеряемой в вольтах. Отметим, что в настоящее время мы не имеем, по‑видимому,
никаких математических инструментов для создания физики бесконечно малого.
Вместе с тем, как легко понять, микроскопические монады вполне могли бы утолить
неистребимую потребность квантовой теории поля в так называемых голых частицах,
которые являются глубинным фундаментом всей материи. Можно, наконец, высказать
предположение, что монады (не обязательно микроскопические) имеют отношение к
той «темной материи», которая не проявляет себя ни в каких взаимодействиях
кроме гравитационных, но составляет основную массу галактик.
* * *
В заключение отметим,
что данная работа — в той ее части, что касается существования квинтэссенции —
является чисто математической и не содержит в себе каких‑либо, даже очень
правдоподобных гипотез. Такие гипотезы требовались бы, скорее, для оправдания
предположения, что космологическое нуль‑поле не существует.
Физическая теория, изложенная в этой
работе, выступает как альтернатива достаточно распространенному мнению, что
квинтэссенция является вакуумным состоянием полей, входящих в Стандартную модель.
Будущее покажет, насколько эти два подхода к проблеме квинтэссенции являются
несовместимыми. В настоящее же время, поскольку все расчеты приводят к
бесконечному значению вакуумной энергии, следует считать, что энергия вакуума
равна нулю. До недавнего открытия антигравитационного атрибута пространства‑времени
такое мнение было общепринятым. Оно базировалось на том. Что процедура
вторичного квантования не имеет того строгого обоснования, что характерно для
теорий, базирующихся на прочном математическом фундаменте.
* * *
1.
Robinson, Non‑standard Analysis (Studies in
Logic and Foundation of Mathematics), North Holland, Amsterdam, 1966.
2. В. А. Успенский, Что такое нестандартный
анализ?, Наука, М., 1987.
3. Гельфанд И. М., Фомин С. В., Вариационное
исчисление, ФМ, М., 1961.
4.
Imaeda K., Nuovo cimeno, vol. 32 B, pp. 138‑162.
5. Casanova
G., L`Algebre Vectorielle, Presses Universitaires de France, 1976.
(Перевод под редакцией Поливанова
М. К., «Мир2, 1979, Векторная алгебра, стр. 53)
6.
Perlmutter S. et al., Astrophys. J., 517 565(1999).
7.
Riess A. G., et al., Astron. J., 116 1009(1998)/
8. Cadwell
R. R., Steinhardt P. J., Phys. Rev.
D, 57 6057(1998).
9. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теоретическая
физика т. 2 (теория поля), «Наука», М., 1988, стр. 90‑91, 212‑215,
349‑360, 443.